量子力学之路——坚实的数理基础至关重要，不能捷径可走

再次，在三维维度中都，我们可以近似于拉格朗日座标和极座标的混杂，叫作拱形座标。我们并称这个球门面为立拱形，因为如果保证向外座标ρ连续性，让φ和z变异，将得不到一个立拱形。

座标匹配

上会，你都会就让在一个球门面中都克服一个疑虑，然后在另一个球门面中都给单单结果。一般来说，你甚至都会就让要近似于一些球门面的混杂。在任何一种但会，都须要一些步骤来从一个球门面匹配到另一个球门面。让我们首先关注两个主要的2D球门面：拉格朗日球门面和极座标。首先，我们把极座标匹配成拉格朗日座标。有关键点(ρ， φ)看起来像这样

用托本的三角学常识，可以得不到：

为了从拉格朗日座标演化成极座标，我们用勾股等式必向外座标，用arctan数组必角座标。

拱形座标和极座标很像，但是是z座标。因此，它近似于与上面并不相同的匹配。将球门座标匹配成拉格朗日座标要复杂一些。你可以自己起先公式。

矩阵

从最最简单的内涵上说，矩阵是一个大体上正向又有形状的量。如果我们选项一个中点和座标轴，就可以把右边、速度迟、摩擦力等说明了为一个一维。这样，我们可以用矩阵作为独立于球门面的具体来说来做到同调上同调。

托矩阵

虽然以(x, y, z)或(r， θ， φ)的基本概念指单单座标对于指单单右边是不错的，但我们可以通过以托矩阵的基本概念指单单来使数论（例如矩阵加法、点积、叉积等）更为容易。这些托矩阵用一个带上小帽子的座标小写字母指单单。

每个托矩阵指单单关键点的伸展正向，如果你将其对应的座标数值减少一个标量的量。因为正向不能窄度，所以我们需将结果除以一维的窄度（并指形状）。在数论上，我们将这个种概念指单单为

其中都s指单单右边，q指单单给定座标，|v|指单单一维v的形状。

托矩阵的间隔时间微分

根据并不一定，拉格朗日托矩阵不都会忽略，但是其他的托矩阵都会忽略。为了弄清楚它们是如何变异的，我们可以把其他的托矩阵所作拉格朗日托矩阵的基本概念。例如，通过在拉格朗日球门面中都展开托矩阵，我们可以必它们的间隔时间微分，然后用多给定链式法则来指单单座标的变异。

换行是拉格朗日托矩阵，是关系式。接下来的几行是必托矩阵ρ的间隔时间微分的所有步骤。对于φ托矩阵，我跳过了很多中都间上同调。

速度迟

根据并不一定，速度迟是右边对间隔时间的微分。为了必单单速度迟，我们可以对每个球门面中都右边的间隔时间必导。在拉格朗日球门面中都，有

这很最简单，因为托矩阵是关系式。在其他球门面中都，托矩阵都会随着右边和间隔时间而变异。在拱形座标中都，有

摩擦力

根据并不一定，摩擦力是速度迟对间隔时间的微分。摩擦力包括慢速、拖曳和忽略正向。正因如此地，摩擦力是右边对间隔时间的也就是说微分。在拉格朗日球门面中都，摩擦力很最简单，因为托矩阵不都会忽略。

在拱形球门面中都，我们需顾虑托矩阵的变异。

正如你所碰到的，在非拉格朗日球门面中都，必摩擦力很简便。

点小写字母

我不就让到你们怎么就让，但是我有点苦恼了写这些d/dt。为了不近似于数学方法基本概念的微分，我们上会用座标上的n个点来指单单座标对间隔时间的n阶微分。

近似于这个小写字母，拉格朗日座标和拱形座标下的摩擦力换成

托本方法方程组

现在我们之前就让到了右边，速度迟和摩擦力怎么指单单了，我们可以再次研究托本方法方程组了。在相对于摩擦力的举例下，托本方法方程组涉及六个给定为：

初始右边 之后因右边 弹丸迟 终因速度迟 摩擦力 间隔时间

每个方程组都有一些这样的给定，你可以就让到其中都的一些，然后由此可知单单剩下的。

四个最简单的方程组式

举例在拉格朗日球门面中都有一个相对于的摩擦力。在这种但会，我们可以必从0到t的方程式来得不到摩擦力

其中都s指单单右边，a指单单相对于摩擦力，t为之后因间隔时间，τ为方程式中都指单单间隔时间的哑巴给定，v_0为弹丸迟，v_f为之后因速度迟。这是第一个托本方法方程组。为了得不到第二个托本方法方程组，我们可以对第一个托本方法方程组方程式。

s是之后因的右边，s_是初始的右边。为了得不到第三个托本方法方程组，我们由此可知单单第一个摩擦力托本方法方程组。然后把结果由此可知法第二个托本方法方程组。

注意(vf + v_)/2是平均速度迟，所以这个方程组就是伸展的西南方等同平均速度迟乘以间隔时间。为了得不到第四个托本方法方程组，我们由此可知单单了第三个弹丸迟的托本方法方程组。然后把结果由此可知法第二个托本方法方程组。

点积

为了思考下一个方程式的公式，我须要并不一定点积。你可以把点积视为一个矩阵抛出另一个矩阵正向的量。如果矩阵抛出同一个正向，点积就都会得不到每个矩阵窄度的平方根。如果矩阵抛出反之亦然的正向，点积就都会得不到每个矩阵窄度的但球门队平方根。如果两个矩阵是同构的，点积就等同0。在其他但会，点积给单单的是这些数值错综复杂的一个数。点积的一个在此之前并不一定是

其中都a和b是给定矩阵，|v|是矩阵的形状，α是两个矩阵的平面。这种基本概念在算出点积时并不近似于，因为我们上会不就让到矩阵错综复杂的平面。此外，我们有一个容易近似于和算出的基本概念，借助点积的分配律：

这是一个更是最简单的公式。我们取用给定两个矩阵，在拉格朗日球门面中都指单单它们，并必它们的点积。

在再次一路上，有托矩阵错综复杂的点积。根据并不一定，这些托矩阵彼此同构，并且有着单位窄度。

这就得单单了之后因结果

用点方程式离单单维维度

在很多但会，都会单单现一些矩阵方程组，我们就让要分离单单各个维维度。为了做到到这一点，我们可以对方程组紧贴取用一个特定的矩阵（上会是拉格朗日托矩阵之一）的点积。例如，在标准的弹道疑虑中都，我们就让到摩擦力的x和y径向，速度迟，和初始右边，但不就让到间隔时间或之后因右边的x径向。

如果我们能分离单单矩阵方程组的y部分，就能由此可知单单间隔时间。因为点积可以使一些径向过关，我们可以起先用y托矩阵对方程组紧贴做到点积。

稍早，我们将检视无限维矩阵方程组，而得不到数值的唯一步骤是取用“点积”。

最重要的托本方法方程组

为了得不到再次也是最重要的托本方法方程组，我们可以放弃摩擦力为关系式的要必。从方程式开始

我们可以做到两种有所不同的u代替：adt = dv或vdt = ds（备注指单单矩阵，而非备注指单单标量或矩阵的窄度）。做到第一个u-代替：

因为我们之前“脱离”了对间隔时间的缺少，因此需把方程式换成线方程式，线方程式校准的是一个一维在整个正向上抛出社会活动正向的总量。

一个粒子被允许在导线上的举例

做到第二次u-代替

v和dv平常抛出同一个正向，所以v和dv的点积得不到v dv = v (1) dv = v dv。因为我们从同一个方程式开始，这两个结果一定相同

如果在社会活动正向上有一个相对于的摩擦力，我们就可以算出方程式，得不到：

这个托本方法方程组有什么特别之处？

这个方程组告诉他我们，只有在社会活动正向上的摩擦力才能使静止慢速或拖曳。此外，更是强的阐释是，只有在formula_正向上的摩擦力，才能忽略该正向上的速度迟。如果摩擦力平常垂直于社会活动正向，那么静止就都会螺旋而不增摩擦力，从而形成一个方形正向。此外，一个以两倍速度迟社会活动的静止须要四倍的西南方才能在并不相同的摩擦力下拖曳。正因如此，一个静止社会活动得越迟，它为了减少正因如此的速度迟须要慢速的西南方就越多。再次，如果等式紧贴同时乘以静止的需求量级，由此可知法气，论功，动能的并不一定，我们就得不到了论功-能等式。

总能量常被说明了为“做到论功的能气”，但什么是论功呢？论功-能等式给了我们一个种概念。正论功使静止慢速，但球门队论功使静止拖曳。静止的慢速或拖曳是由净论功决定的，即对静止所做到的所有正论功和但球门队论功的总和。

促成思考和无意识

我建议你们自己尝试必由此可知这些疑虑，如果你必须必由此可知这些疑虑，起先就让单单一个误判的题目，然后表明它是误判的。然后，就让单单一个有所不同的误判题目，并表明这个最初题目是误判的。如果你做到这个过程的间隔时间足够窄，你就都会耗尽误判的题目，你除了就让单单正确的题目以外无济于事。

来自：来由无中生有科学

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